邊界層

[拼音]：bianjieceng

[外文]：boundary layer

如果粘性很小的流體（如水、空氣等）在大雷諾數時與物體接觸并有相對運動，則靠近物面的薄流體層因受粘性剪應力而使速度減��；緊貼物面的流體粘附在物面上，與物面的相對速度等于零；由物面向上，各層的速度逐漸增加，直到與自由流速相等。L.普朗特把從物面向上的這一流體減速薄層叫作邊界層。圖1是水由左向右沿靜止薄平板流動時，在水面上灑金屬粉后，用閃光燈拍下的照片。從停滯在平板面上的粉末中，可以清楚地看出板面附近的邊界層。圖2表示在邊界層內速度由板上的零值向上漸增的速度u(x，y)分布圖、邊界層的厚度δ和它在x方向變化的情況，圖中U為自由流速。

邊界層呈層流流動的，叫層流邊界層；呈湍(紊)流流動的，叫湍（紊）流邊界層。

19世紀末古典流體力學理論由于與實驗水力學分開，單純搞數學解析，因而得出繞物體流動沒有阻力的不符合實際情況的結果，這就是達朗伯佯謬。1904年普朗特從實際流動出發，通過實驗觀察，提出了邊界層理論，把靠近物面的邊界層按粘性流動計算，而把邊界層外的流動仍按理想流體動力學計算，從而簡化了納維－斯托克斯方程，得出了阻力公式，部分地解決了達朗伯佯謬問題。邊界層理論把流體力學理論與實驗結合起來，給現代流體力學發展創出了新路。它對航空工程，水利工程，流體機械如渦輪、壓縮機、泵和螺旋槳等的效率提高都有實用價值，因而幾十年來邊界層的實驗和理論發展迅速。特別是近二十年來隨著電子計算機的發展和測試技術的現代化，在理論和實驗方面不斷深入，尤其在湍流邊界層、高速邊界層、溫度邊界層、擴散邊界層等各方面的研究都取得了進展（見化學反應邊界層，邊界層傳熱傳質，激波與邊界層相互干擾，燒蝕）。但在湍流結構等基本理論方面，還有待進一步研究。隨著實驗技術和電子計算機的發展，簡單的邊界層理論已不能滿足需要，“多層邊界層”近似理論正在研討中。

下面只介紹低速（不可壓縮流體流動）邊界層理論。

邊界層厚度

指在邊界層內由物面(速度為零)垂直向上到與外界局部自由流速U相等的流線間的距離。由圖2中的速度分布曲線可以看出，在邊界層上邊界附近的速度值是漸增的，所以很難精確地定出邊界層厚度。一般把從物面起，到速度為0.995U處的厚度 δ定為邊界層厚度。邊界層厚度與流動的雷諾數、自由流的狀態、物面粗糙度、物面形狀和延展范圍都有關系。沿物體邊界層的厚度是由薄逐漸變厚的。當空氣流的雷諾數為Re_x＝10⁶時，在距前緣1米處，平板上層流邊界層的厚度為3.5毫米。在平滑平板上，層流邊界層的厚度(Re_x=Ux/v，這里v為流體運動粘性系數)；寫成等式時的常數值隨所選取邊界層厚度處的速度百分比（如選0.90，0.99或0.995）而異，一般為3.46到5.64。平滑平板上湍流邊界層的厚度，其比例常數約為0.37。

可以看出，由于測定邊界層厚度有任意性，用它來計算摩擦阻力太粗糙，因而在實際應用中，又定義出其他的厚度。例如在低速時用位移厚度δ₁（或δ^*）、動量（損失）厚度 δ₂（或θ），此外還有一個無量綱厚度比叫形狀因子。

位移厚度

由于流體粘性阻滯而形成的邊界層把層外主流從壁面向外推移的距離(圖3)，

可按定義由下式求出：

或

。

平行流流過平板時，層流邊界層的 δ₁≈δ/3，湍流邊界層的δ₁≈δ/8。

動量（損失）厚度

因粘性阻滯，在邊界層內所損失的動量，相當于按層外主流速度U計算時，這個動量所占的厚度，即

或

。

平行流流過平板時，層流邊界層的δ₂＝0.13δ，湍流邊界層的δ₂＝7δ/72＝0.097δ，故δ₁＞δ₂。

形狀因子

上面兩個厚度比所組成的無量綱參數，通常表為：

δ₁/δ₂=H₁₂（在低速時也寫為H）。因δ₁＞δ₂，故H＞1。在層流邊界層中，H的值由駐點附近的2.0到分離點的3.5。在湍流邊界層中，它的值不定，大約為1.2～2.5。

邊界層方程

邊界層中流體運動所遵循的物理規律的數學表達式，包括邊界層微分方程和分界層動量積分方程。

邊界層微分方程

由于y與邊界層厚度δ《x（物面方向長度）是同一量級，同時又 ，普朗特于1904年從納維－斯托克斯方程出發把方程中各項的數量級寫出并互相比較，最后將量級為δ²以上的項略去，得到邊界層方程。例如，二維不可壓縮流的層流邊界層方程組可寫為：

運動方程　，

連續性方程　，

邊界條件　y＝0，u＝v＝0；y＝∞，u＝U(x，t)，式中u、v為x、y方向的速度分量；p為壓力;ρ為流體密度。原來y方向的動量方程簡化成，它表示在邊界層內沿垂直于壁面方向的壓力保持常值，即壁面上某點的壓力p等于無粘性外流在此點計算出的p值，因此在邊界層流動計算中，p被認為是已知的物理量。

如果物面是曲面，可以選取曲面坐標系，沿物面方向為x，垂直于物面方向為y。同樣得出在y方向的增長也是δ²的量級，可以忽略。

關于湍流邊界層方程，由于流動隨時間、空間而變更，情況非常復雜，因而尚未通過實驗弄清湍流的物理機理，得出公認的模型。所以多年來，人們針對不同情況提出了各種半經驗理論和假設求平均流解。

在湍流邊界的一般情形中，流體微團的瞬時速度可表為平均速度與脈動速度之和 (如x方向u=ū+u′等)。由于脈動速度間的動量交換而引起的湍流邊界層中的附加湍流應力（也叫雷諾應力）是：

等。它是一個張量。在二維情形中，雷諾應力τ_t可寫成（見湍流理論）：

式中ε_τ 稱為渦粘性系數，上面的橫線表示平均值。二維不可壓縮湍流邊界層的微分方程組為：

邊界層動量積分方程

為T.von卡門于 1921年所提出，又稱卡門積分關系式，是工程上常用的近似法，對定常、二維不可壓縮層流和湍流（采用平均速度分量）邊界層都能用。這個方程是在邊界層內取一個控制微元，用動量定理使在 x方向的總動量增加率等于單位時間內流出動量與流進動量之差得出的。因為求動量是從壁面y=0到y=δ求積計算的，所以得出的是平均值，即是近似法。此積分關系式為：

式中τ₀為物面上的剪應力。用位移厚度δ₁和動量厚度δ₂代入，可寫成：

或

式中為摩擦系數。

層流邊界層

流體繞物體流動時，在物體的前端或上游部分的邊界層，一般是層流邊界層。在圖2中沿平板前端的就是層流邊界層的速度分布情況。沿曲面的層流邊界層，由于外流速度有變化，與平板有所不同，但速度分布大致類似。緊貼物面的速度梯度較大，因而剪應力也較大。物面上的剪應力為：

式中μ 為流體動力粘性系數。算出了τ₀，就可求出物面的摩擦阻力系數和摩擦阻力。但這些計算只能用于分離點以前。

層流邊界層的微分方程

比納維－斯托克斯方程簡單，但仍是非線性的偏微分方程。二維層流邊界層方程的早期解法是找出無量綱的組合自變數，代入式內把方程變為常微分方程，再用級數法求出摩阻系數，或直接找它的數值解。這種方法叫“相似解”�！跋嗨平狻睂�繞平板流、繞楔形體流、收縮管道流、繞圓柱體對稱流等都可用。由于近年來電子計算機的發展，已能用有限差分方法或有限元法直接求非線性偏微分方程的數值解。

層流邊界層的動量積分

它比偏微分方程的數值解法簡便得多，但不能提供邊界層內詳細的流動特性變化(如速度分布等)。因此若只要求邊界層特征物理量（如位移厚度、壁面剪應力等）沿物面的變化情況，它是一種實用的工程方法。對一些復雜的流動問題，如粘性流動和非粘性流動的相互作用問題，還常常使用它來計算邊界層的特性。

三維層流邊界層的計算

如果是旋轉對稱體的繞流，可以通過轉換式［如曼格勒 (Mangler)轉換式］化成二維形式，就可利用現有的二維解。繞任意物體的三維計算，要比二維復雜得多，因此只能依靠數值求解的辦法。

層流邊界層的過渡和穩定性

自從O.雷諾對圓管流動的實驗證明管內流動先是層流然后過渡到湍流后，他用一無量綱比值（即雷諾數）作為流動參數。對于每一種特定形狀都有一個臨界雷諾數，例如圓管流動的臨界雷諾數為2000，超過這個值，層流就過渡到湍流（見層流）。在邊界層內存在著類似的臨界雷諾數概念，不過邊界層的雷諾數通常寫作Re=Uδ^*/v。 臨界雷諾數Recr可以通過實驗得出。

層流向湍流過渡除與雷諾數關系最大外，還受其他許多參量的影響，例如外流的湍流度、逆壓梯度、流體吹入、流過凹面上的離心力、非均勻流中的浮力、物面粗糙度、流體與物面的熱交換等，都會增加不穩定因素，容易引起層流邊界層的過渡。

層流邊界層穩定性理論

在理論方面，常用小擾動穩定理論，即假設層流流動是由平均流動（可看作定常流動）加上小擾動正弦流動合成的，如果小擾動隨時間的增加而增大，則是不穩定的，有可能過渡成湍流。通常所謂奧爾－索末菲方程就是小擾動理論的方程（見流體運動穩定性）。

討論平行流邊界層穩定性時，常用托爾明－施利希廷穩定性理論。它的基本思想是：層流邊界層流過物面時，總要受到一些小的擾動(如尖端、粗糙板面等)，因而在層流邊界層中，包含有許多振幅非常小的速度脈動，其頻率范圍很廣。在某種情況下，若某一頻率的脈動得到加強，而其他頻率減弱，則前者在此頻率下迅速增大振幅(在邊界層內的這一波動叫作托爾明－施利希廷波)，使層流不穩定，導致形成湍流。反之，如果脈動的所有頻率的振幅都減弱，則層流穩定。

層流邊界層向湍流邊界層的過渡

層流的穩定性理論并不能說明由層流向湍流過渡的全部物理現象。過渡是一個非常復雜的流動過程，直到目前為止，人們對它還沒有很清楚的了解。從繞平板這樣一個簡單流動來看，若外流湍流度低，流過平滑平板時，層流邊界層向湍流邊界層過渡大致經過以下幾個階段(圖4)：

（1）靠近平板前端是穩定的層流邊界層；

（2）過臨界雷諾數后，有不穩定的二維托爾明－施利希廷波；

（3）不穩定的層流三維波繼續發展，并形成小渦；

（4）在很強的局部剪應力處，渦旋破裂，產生三維湍流脈動；

（5）在湍流速度脈動很大的地方，產生許多湍流斑點；

（6）許多湍流斑點聯合在一起，發展成為完全發展了的湍流邊界層。

在大多數情況下，由湍流斑點發展成為完全湍流時，同時形成許多分離氣泡。在上述過程中，目前只能對①、②、③進行理論分析，其他各過程還有待于今后進一步探索。

沿曲面有離心力的流動的不穩定性，與上述的不同。例如在兩個能作同心旋轉的內、外圓筒間的層流流動，當內筒旋轉外筒不動時產生泰勒渦(見流體運動穩定性)，層流不穩定；而外筒旋轉內筒不動時，層流穩定;兩筒作相反方向旋轉時又不穩定。又如沿凹面的層流流動，產生垂直于流向的格特勒渦，也引起不穩定。

當層流邊界層過渡到湍流邊界層后，邊界層厚度 δ增大(圖4)，同時阻力也增大。仍以平行流流過平板為例，阻力系數C_f與雷諾數Re兩者的關系如圖5（用雙對數坐標）所示。

湍流邊界層

在自然界和工程中，運動物體（如飛機、葉柵等）表面上的流動大部分是湍流邊界層。由于湍流是有渦流動，有隨機的脈動，流動隨空間和時間都在變化，所以湍流邊界層的內部結構比層流邊界層復雜得多。由于湍流內有垂直于流向的動量交換，它在與壁面垂直截面上的速度分布與層流邊界層的不同，下端豐滿一些（圖6）。

由實驗數據，可把湍流邊界層近似地看作由內區和外區組成。這樣的分法是因為靠近壁面的粘性剪應力與壓力梯度在這兩個區內是截然不同的。內區包括貼近壁面的粘性底層，其中剪應力最大，由許多小旋渦組成；向上是緩沖層，再向上直到邊界層外區是大尺寸旋渦組成的動量交換較大的湍流層。外區是從這個湍流層一直到速度與外流極相近的地方�？偟恼f，內區占邊界層全層的20％。

湍流邊界層理論

從湍流邊界層的研究歷史來看，存在著兩種理論，它們分別發展又相互關聯。一種是統計理論，另一種是半經驗理論。

（1）在統計理論中，把流體看做連續介質，把流速、壓力等的脈動值看做連續的隨機函數，通過各脈動值的相關函數和譜函數來描述湍流流動。按統計平均法，從中找出脈動結構，把各種平均值代入納維－斯托克斯方程及其他方程，得出所謂雷諾方程。但統計理論目前主要用于研究均勻各向同性湍流，對湍流邊界層流動并不適合。

（2）在另一種半經驗理論中因為湍流邊界層方程的數目少于未知量的數目，方程組是不封閉的，因而需要補充一些關系式，由此而產生的一些不嚴謹的近似理論為半經驗理論。這些理論雖無嚴格的依據，但對解決工程上的許多問題很有用處。又因為其中有些系數是從實驗中求出的，所以用這些半經驗理論算出的結果，常與實驗較吻合，但它們的適用范圍有局限性。常用的半經驗理論有：J.V.布森涅斯克于1877年提出的，用渦粘性系數計算雷諾應力的公式；普朗特的混合長理論（動量傳遞理論）；G.I.泰勒的渦旋傳遞理論；卡門的相似理論等。這些半經驗理論的缺點是對湍流的內部結構都沒有做分析，使用范圍有限。

湍流邊界層實驗

對邊界層的研究，實驗是很重要的手段，尤其是湍流邊界層測量，許多國家都成立了小組在不斷地進行研究。一般實驗是在水槽或風洞內進行的。所用的流場顯示法有氫氣泡法、煙跡法，涂在物面上的油流法等。測量方法近代多用熱線、熱膜和激光測速、激光全息攝影等（見湍流實驗）。

邊界層分離

流體流過曲面時，它的速度和壓力都有變化。當流速減少時，壓力必定增加。由于在邊界層內的流體微團有動量損失，如遇到下游壓力增加（即有逆壓梯度）時，則動量再減少，直到流體微團不能再在物面上前進時就會從物面分離。這一現象叫做邊界層分離(圖7)。

氣流開始離開物面的點稱為分離點，它的位置是由物面處的來確定的，即該點在物面處的法向速度梯度為零。圖8表示出平行流流過對稱翼剖面的二維流動，在翼剖面后部有逆壓梯度處邊界層分離的情況，以及在分離點S附近的速度分布。注意在分離點處的速度分布曲線上有拐點，分離區內沿物面有反向（向前）的流動，產生渦旋，并形成物體后面的尾渦。機翼上邊界層分離，使機翼的舉力受到限制，并增加阻力。大攻角翼上分離會造成飛機的失速；渦輪泵、壓氣機、螺旋槳等的槳葉上的氣流分離使機械效率降低，并能腐蝕壁面。

二維繞物體邊界層分離有兩種情況：一種是從分離點后，主流離開物面，并在下游形成較大的旋渦區。這種分離在一般攻角時，常發生在機翼（舉例說）的后部（圖7和圖8）；另一種是從分離點S后，主流先離開物面，然后又在A點附著在物面上，形成氣泡──局部回流區（圖9）。

分離氣泡多是先層流分離，中間變為湍流，底層得到動能，再附著物面。在厚機翼時，分離常發生于機翼后部；在薄機翼時，則常在前緣附近產生氣泡分離。三維邊界層分離較復雜，甚至如何定義分離點，尚沒有一致的看法。湍流邊界層分離與層流邊界層分離相同，但因湍流內部有上下的動量交換，對同一外形物體，湍流邊界層的分離點比層流邊界層靠后。在特定情況下，人們可以人為地固定分離點，利用氣流分離后形成的渦旋對物體的作用，產生有利的效果。例如目前航空上采用邊條小翼，就是利用它的前緣分離渦，以增加小展弦比的基本翼上的非線性舉力。

在實驗方面，測分離點位置可用模型表面的油流法、絲線法和用普雷斯頓管等。

近年來各國對分離流尤其是對二維非定常流和三維定常流中邊界層分離的起始及分離點、線附近流動問題的研究愈益重視，已有一些近似理論如三層結構等，也試提出二維、三維流動的分離判據，研究正在不斷深入中。

邊界層控制

在應用上（例如對航空飛行器來說），層流邊界層的過渡和分離，使機翼等阻力增加和(或)舉力減少（甚至失速）；因此人們很早就設法使機翼表面光滑，并設計“層流翼剖面”，以維持層流邊界層。但這種控制是有限的，所以人們后來采用了許多人工控制邊界層的方法，以達到影響邊界層結構，從而避免邊界層內氣流分離，和減少阻力增加舉力的目的。實驗和理論得出如下的使流體局部加速的幾種有效方法：

（1）使部分物面移動；

（2）通過物面上的噴孔(狹縫)吹出流體，以增加表面滯流的能量（圖10）；

（3）通過物面上的狹縫，吸走滯流，使邊界層變薄，以抑制分離；

（4）用不同氣體噴射，加速滯流；

（5）變更機翼形狀。

參考書目

1. H.Schlichting， Boundary　Layer　Theory，McGraw-Hill，New York，1979.
2. T.Cebeci and A.M.C.Smith，Analysis of TurbulentBoundary Layers，Academic Press，New York，1974.
3. F.M.懷特著，魏中磊、甄思淼譯：《粘性流體動力學》，機械工業出版社，北京，1982。（F.M.White，Viscous Fluid Flow，McGraw-Hill，New York，1974.）
4. G.V.Lachmann，Boundary Layer and Flow Control，Perga mon Press，Oxford，1961.
5. P.Bradshaw， An Introduction to Turbulence and Its Measurement，Pergamon Press，Oxford，1971.